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七月中旬周日上午,我与尤尔根、伊丽莎白约在数学系主楼后的草坪见面。
我们刚刚结束了对哈代-李特尔伍德圆法中一个技术性问题的讨论——关于奇异级数在特定模数下的渐近行为。
阳光将大学的石灰岩建筑照得发白。
“我认为关键可能在于对指数和估计中相位振荡的更好控制。”
尤尔根躺倒在草坪上,双手枕在脑后,眯眼看向天空,“但那些三角函数的迭加……就像一群不听话的波。”
“可以用范德蒙德行列式的性质来重新组织项,”
我说,“减少冗余计算。”
伊丽莎白坐在我们旁边,膝上摊开一本笔记,上面是她工整的推导。
“我试过用切比雪夫多项式逼近,但在边界处的误差累积仍然……”
“看,那里有只瓢虫。”
尤尔根忽然侧过头,指向几英尺外的一片三叶草。
那是一只鲜红的七星瓢虫,正沿着草茎缓慢攀爬,背上的七颗黑点犹如用圆规精确画出的圆。
“它的运动轨迹很有意思。”
尤尔根身体前倾,手肘撑在膝盖上,“你们注意看——它不是直线前进,而是沿着某种看似随机但又有周期性回路的路径。
像不像布朗运动的简化版?”
“布朗运动是连续时间的随机过程,”
我指出,“而瓢虫的移动是离散步长的,更接近某种随机游走。
不过它显然不是完全随机的,你看它会避开草叶的绒毛,遇到障碍时会转向。”
尤尔根掏出随身携带的小笔记本和铅笔,开始快速勾勒。
“假设我们把草坪平面坐标系化,以瓢虫初始位置为原点,记录它每五秒的位置坐标。
如果我们有足够多的数据点,能不能拟合出某种转移概率矩阵?”
伊丽莎白轻轻合上书页:“那样需要假设它的移动是马尔可夫过程——即下一步位置只取决于当前位置,与历史路径无关。
但你们看,它刚才在同一个区域绕了第三圈了,这可能意味着它有某种记忆机制,或者被某种化学信号吸引。”
瓢虫这时已经爬到一片宽阔的草叶上,停了下来,六只细小的足稳稳抓住叶面。
阳光照在它半球形的鞘翅上,红色鲜艳得几乎不真实。
“那些斑点,”
我凝视着那七个黑点,“它们的排列不是完全规则的六边形堆积,但也不是完全随机的。
左侧三个,右侧三个,中间一个稍微偏离对称轴。”
尤尔根凑近了些,几乎把鼻子贴到草叶上:“每边的间距……左边三个斑点:第一个距鞘翅边缘约0。
8毫米,第二个距第一个约1。
2毫米,第三个距第二个约1。
1毫米,距鞘翅中缝约1。
3毫米。
右侧近似但不完全对称。
这符合某种正态分布吗?还是更接近泊松分布?”
“样本量太小了,”
伊丽莎白提醒,“单一个体无法推断种群分布。
而且即使我们能测量一百只瓢虫的斑点位置,我们得到的也只是现象描述,不是形成机制。”
这正是问题有趣的地方。
数学可以描述斑点排列的统计规律,但为什么是这种规律?是什么发育生物学的过程,决定了这些黑色素细胞在幼虫变态为成虫的过程中,会在鞘翅的特定位置沉积黑色素?
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