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第三百九十六章 伯恩赛德的表示理论群论（第2页）

实数有一个单位元素，用数字1。

任何与1组合或乘以1的实数保持不变。

你也可以乘任意实数的组合，以任何你想要的顺序，乘积总是一个实数。

数学家们说，实数组在乘法下是“封闭的”

，这意味着你不会仅仅通过元素的乘法就离开这个实数集群组。”

乔迪说：“要按照你说的那个例子，李群包含无限多个元素，而不是六个元素。”

伯恩赛德说：“没错，要解决一个重要的问题，往往需要理解与之相关的特定群组。

但是大多数群组比等边三角形的对称群组更难理解。

我们不可避免要面对表示理论的领域，它把有时神秘的群组的世界转换成充分约束的线性代数领域。”

乔迪说：“是的，它们编码质数、几何空间和几乎所有数学家最关心的东西的信息。”

伯恩赛德说：“只不过你要用矩阵，也就是线性代数来表示这些，里面就会出现扩大、平移、反转、剪切、选择和反射这样的词汇。

这些就相当与我们数学中的加减乘除这样的东西一般。”

乔迪说：“我刚刚想多了，还以为你找到你加减乘除模之外的新的运算方式呢。”

伯恩赛德说：“表示理论根据一定的规则，为群组中的每个元素分配一个矩阵，从而在群组理论和线性代数之间架起了一座桥梁。

例如，必须将群组中的单位元素分配为单位矩阵。

分配还必须尊重群组中元素之间的关系。

如果一个反射乘以给定的旋转等于第二次反射，那么分配给第一次反射的矩阵乘以分配给旋转的矩阵必须等于分配给第二次反射的矩阵。

符合这些要求的矩阵集合称为群组的表示。

该表示提供了一组简化的图像，就像黑白图像可以作为原始彩色图像的低成本模板。

换句话说，它“记住”

了关于这个群组的一些基本但重要的信息，却忽略了其他的信息。

数学家的目标是避免纠缠于一个群组的全部复杂性；相反，他们通过观察它在转化为简化的线性变换格式时的行为来了解它的性质。”

乔迪说：“一个群组几乎总是可以以多种方式表示。

例如，S_3在使用实数填充矩阵时有三种不同的表示：简单表示、反射表示和符号表示。”

伯恩赛德说：“我们进下来的工作就是将给定群组的表示形式整理成一个表，称为字符表，该表总结了有关组的信息。

行引用每个不同的表示，列指的是这个表示中的重要矩阵：分配给组中的单位元素的矩阵，以及分配给组中“生成”

元素的矩阵，这些元素一起产生所有其他元素。